透视纹理映射

作者:沈晨

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本文只涉及平面的纹理映射,文章中提到的多边形都是平面多边形.

　　透视纹理映射可以根据多边形距离观察者的远近而进行相应的调整从而产生比仿射纹理映射更真实的效果。 我们可以把纹理定义成为一个二维数组，其中每一个元素代表一个颜色值， 把一幅位图定义为纹理是最直观最简便的方法。我们也可用纹理函数来定义纹理， 这样可以产生动态效果，但这不是本文的讨论范围。 我们把纹理所在的二维空间称为纹理空间或u, v空间， 其中可以把u看成是纹理空间的x坐标，v是y坐标。 一般我们定义u, v的范围在0到1之间。虽然u, v可以为任何数， 但一般都将其定义在0到1之间，这可以简化对一些问题的处理。 纹理映射就是把纹理空间的坐标系映射到多边型坐标系。 这里我来解释一下多边形坐标系。两条不共线的向量可以定义一个坐标系, 如果这两个向量不垂直则将使该空间内的图形产生倾斜的效果而当这两个向量长度不相等时, 则会拉伸或压缩该空间内的图形.我们在一个3维空间的多边形上取两个不共线的向量, 则这两个向量可以定义一个多边形坐标系,然后就可以写出这个3维空间的平面的的方程了 (2维或n维空间的平面方程也可同理求得).现在我举例说明. 我们在一个平面上取两点M1和M2可以得到一个向量M=M1-M2, 在取两点N1和N2可以得到另一个向量N=N1-N2, 最后再在该平面上取一个点P1作为该平面空间的原点. 将该点与视见坐标系的原点相减 (如果你的3D引擎没通过视见坐标系变换则与世界坐标系原点相减) 得到一个向量W=P1-(0,0,0).则该平面的方程为Ma+Nb+W,其中a,b为任何实数. 如果用矩阵表示的话如下其中的矩阵我称其为矩阵T)。

(x,y,z) =(a,b,1)×

|Mx,My,Mz| |Nx,Ny,Nz| |Wx,Wy,Wz|

　　如果我们用纹理空间的u,v来代替a,b则可以得到纹理空间到多边形的映射关系， 其中(Mx,My,Mz)对应纹理空间的(1,0)点， (Nx,Ny,Nz)对应纹理空间的(0,1)点，(Wx,Wy,Wz)对应纹理空间的(0,0)点。

(x,y,z)=(u,v,1)×T

　　如此便完成了纹理到多边形的映射.看起来很简单,但实际上我们的工作还没完, 因为在大多数情况下我们是在用扫描线法来填充多边形的同时完成纹理映射, 所以我们想知道在多边形经过透视投影后其在屏幕坐标系上与纹理映空间坐标系的映射关系。 其关系可通过如下几步求得.首先视见坐标系或世界坐标系的y 轴方向与屏幕坐标系的y轴方向相反，所以矩阵T应变换为如下形式。

第一步：	| Mx, My, Mz| |-Nx,-Ny,-Nz| | Wx, Wy, Wz|
第二步：	(k*x/z,k*y/z,k)=(k*u/z,k*v/z,k/z)×T (等式1)
	这里将x,y,z乘以k/z是做投影变换，如果需要的话我会写一篇有关的文章。
第三步：	(k*x/z,k*y/z,k)×T'=(k*u/z,k*v/z,k/z)×T×T' (等式2)
	其中T'为T的逆矩阵。则第三步的等式可转换为如下形式。 (k*x/z,k*y/z,k)×T'=(k*u/z,k*v/z,k/z) (等式3) 　　因为T'＝T*/|T|所以等式3可变换为： (k*x/z,k*y/z,k)×T*=|T|*(k*u/z,k*v/z,k/z) (等式4) 　　其中T*为T的伴随矩阵，|T|为T的行列式。上列等式又可转换成如下形式。 (k*x/z,k*y/z,k)×T*=(k*|T|*u/z,k*|T|*v/z,k*|T|/z)

　　由此可以看出，求透视纹理映射的关键就是T*矩阵。 在一些Internet上的资料将该矩阵的每一行称为magic value或magic vextor. 现在我给出T*的形式(如果你不知道是如何得出的可参考任何一本线性代数的书)。

        |WyNz-NyWz, WyMz-MyWz, MyNz-NyMz|
        |WzNx-NzWx, MxWz-WxMz, MxNz-NxMz|
        |WxNy-NxWy, WxMy-MxWy, MyNx-NyMx|

        |Hx,Hy,Hz|
        |Vx,Vy,Vz|
        |Ox,Oy,Oz|

              k*x/z*Hx +k*y/z*Vx+k*Ox=k*u*|T|/z
              k*x/z*Hy+k*y/z*Vy+k*Oy=k*v*|T|/z 
              k*x/z*Hz+k*y/z*Vz+k*Oz=k*|T|/z

              x/z*Hx +y/z*Vx+Ox=u*|T|/z
              x/z*Hy+y/z*Vy+Oy=v*|T|/z 
              x/z*Hz+y/z*Vz+Oz=|T|/z

             u= (x/z*Hx +y/z*Vx+Ox)/ (x/z*Hz+y/z*Vz+Oz)
             v= (x/z*Hy+y/z*Vy+Oy)/( x/z*Hz+y/z*Vz+Oz)

                                B B B
                                B A B
                                B B B